倘若遗弃罪的追诉期限已逾时，通常情形下，涉案人员将不再面临着被追究刑事责任的境地。然而，若存在有力的证据显示，追诉有效期内，公安部门或被害者曾提出控诉，但司法机构未能对案件进行立案调查或作出相应处理的情况，那么该案件便不受到追诉期限的制约。再者，若犯罪行为的性质、情节以及所带来的后果极其恶劣，社会影响极为深远，即便追诉期限已然过去，仍有可能会被追究法律责任。
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当然了，要是犯的遗弃罪已经过了追诉期限的话，那这事儿就很难再拿出来说了。那犯罪的人很可能就躲过去不用负法律责任。不过要是有证据证明在追诉期限里，警察已经开始调查这个案子了，或者是受害者自己去报案了，但警察却没当回事儿，没有给立案或者处理的话，那这个追诉期限就不算数。还有就是，如果这个犯罪行为特别恶劣，对社会造成的影响特别大，就算过了追诉期限，还是有可能被抓起来。
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解析：
要是遗弃罪的追诉期限过去了，那就基本上意味着警方抓你基本是没戏了。不过说到底还有个例外情况就是虽然追诉期限过了，但巴拉巴拉比如说已经有人报案警察却没当回事；又或是说有证据证明警察早就知道这个事情，却没有去调查，这种情况好像抓人还是可以哒。再说了，如果这事儿挺严重，影响特别大，就算追诉期过了，警方应该也是可以追究你的责任。
法律依据：
《中华人民共和国刑法》第八十八条
【追诉期限的延长】在人民检察院、公安机关、国家安全机关立案侦查或者在人民法院受理案件以后，逃避侦查或者审判的，不受追诉期限的限制。
被害人在追诉期限内提出控告，人民法院、人民检察院、公安机关应当立案而不予立案的，不受追诉期限的限制。